2024年北方工業(yè)大學(xué)非全日制研究生招生考試《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

　　一、考試性質(zhì)與范圍

　　數(shù)學(xué)分析是高等學(xué)校數(shù)學(xué)類專業(yè)的基礎(chǔ)課程，由分析基礎(chǔ)、一元微分學(xué)和積分學(xué)、級(jí)數(shù)、多元微分學(xué)和積分學(xué)等部分組成?？荚嚪秶O限、一元和多元函數(shù)的微積分、級(jí)數(shù)、實(shí)數(shù)完備性理論等。

　　二、考試基本要求

　　要求考生比較系統(tǒng)地理解和掌握數(shù)學(xué)分析的基本概念和基礎(chǔ)理論，要求考生具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力， 熟悉各種計(jì)算和證明方法，能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問題。

　　三、考試形式與分值

　　1. 閉卷，筆試;

　　2. 滿分為 150 分，考試時(shí)長(zhǎng)為 3 小時(shí);

　　3. 題型為填空題、計(jì)算題、證明題等。

　　四、考試內(nèi)容

　　1.分析基礎(chǔ)

　　(1) 實(shí)數(shù)集與函數(shù)：實(shí)數(shù)的概念和性質(zhì)，確界的概念、確界原理，函數(shù)的定義、函數(shù)的表示法;

　　(2) 數(shù)列極限：數(shù)列極限定義、性質(zhì)和計(jì)算，數(shù)列極限存在的條件;

　　(3) 函數(shù)極限：函數(shù)極限的概念和性質(zhì)，函數(shù)極限存在條件，兩個(gè)重要極限，無窮小量與無窮大量;

　　(4) 函數(shù)連續(xù)性：函數(shù)連續(xù)的定義，連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，一致連續(xù)性;

　　(5) 實(shí)數(shù)完備性基本定理的證明和應(yīng)用。

　　2.一元函數(shù)微分理論

　　(1) 導(dǎo)數(shù)與微分：導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)法則，微分的定義、微分的運(yùn)算法則，高階導(dǎo)數(shù)與高階微分;

　　(2) 微分學(xué)基本定理：中值定理，泰勒公式;

　　(3) 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、凹凸性與拐點(diǎn)。

　　3.一元函數(shù)積分理論

　　(1) 不定積分：不定積分的概念，換元積分法和分部積分法;

　　(2) 定積分：定積分的概念，函數(shù)的可積性條件，微積分基本定理，定積分的幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用;

　　(3) 反常積分：無窮積分收斂和發(fā)散的概念，瑕積分收斂和發(fā)散的概念，反常積分收斂判別法。

　　4.級(jí)數(shù)理論

　　(1) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)的斂散性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法，一般項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法;

　　(2) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：一致收斂的概念，一致收斂判別法，一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì);

　　(3) 冪級(jí)數(shù)：收斂半徑與收斂區(qū)間，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開;

　　(4) 函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開。

　　5.多元函數(shù)微分理論

　　(1) 多元函數(shù)極限和連續(xù)：平面點(diǎn)集的概念，多元函數(shù)極限和連

　　續(xù)性概念，二重極限和累次極限的關(guān)系;

　　(2) 多元函數(shù)微分學(xué)：全微分的概念，偏導(dǎo)數(shù)的概念，連續(xù)性與可微性、偏導(dǎo)數(shù)與可微性，多元函數(shù)微分法及求導(dǎo)公式，方向?qū)?shù)與梯度，多元函數(shù)的極值;

　　(3) 隱函數(shù)定理及應(yīng)用：隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)微分法，隱函數(shù)存在定理的幾何應(yīng)用，多元函數(shù)的條件極值。

　　6.多元函數(shù)積分理論

　　(1) 含參量積分：含參量正常積分的概念，含參量反常積分的一致收斂性及判別法，含參量反常積分的性質(zhì);

　　(2) 第一型和第二型曲線積分的概念與計(jì)算，二重積分和三重積分的概念與計(jì)算，第一型和第二型曲面積分的概念與計(jì)算，格林公式及應(yīng)用，曲線積分與路徑的無關(guān)性，高斯公式及應(yīng)用，重積分的應(yīng)用。

　　五、參考書目

　　1. 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院編，《數(shù)學(xué)分析》(上、下冊(cè))，高等教育出版社，2019 年，第五版;

　　2. 裴禮文編，《數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》，高等教育出版社，2021 年，第三版。