2024年電子科技大學非全日制研究生招生考試《線性代數》考試大綱
一、總體要求
對高等代數基本概念把握準確，掌握高等代數課程中的基本理論和基本方法，考查綜合運用所 學知識解決問題的能力。
二、內容
1. 矩陣
(1) 理解矩陣的基本概念, 熟悉常見的特殊矩陣;
(2) 理解并且掌握矩陣的加法、數乘、轉置、乘法和求逆運算;
(3) 理解逆矩陣的概念、性質及其若干等價刻畫, 掌握逆矩陣計算的基本原理;
(4) 理解初等變換與初等矩陣的關系, 掌握消元法求解方程組的方法, 掌握初等變換化矩陣為行簡化階梯型的方法;
(5) 掌握矩陣的常見分塊方法.
2. 行列式
(1) 理解行列式的遞歸定義, 了解行列式定義的幾何意義;
(2) 理解行列式的若干基本性質;
(3) 熟練掌握行列式的多種基本計算方法與技巧;
(4) 了解行列式展開的拉普拉斯定理;
(5) 理解伴隨矩陣的概念、性質與計算, 理解克蘭姆法則求解非齊次線性方程組的基本原理;
(6) 理解矩陣秩的概念及其相關性質, 熟練掌握分塊矩陣初等變換證明矩陣秩等式與不等式的方法.
3. n 維向量空間
(1) 掌握數域上 n 維向量空間中的各種基本概念;
(2) 理解向量組的線性組合、線性表出與線性相關性等基本概念、性質與相關定理;
(3) 理解向量組的秩與極大無關組的基本概念;
(4) 理解一般線性方程組解的結構, 熟練掌握線性方程組求解的基本方法.
4. 線性空間
(1) 理解 F-空間的各種基本概念, 如線性運算、維數、基與坐標、基變換與子空間等;
(2) 理解子空間的交、和的基本概念、性質與定理;
(3) 理解兩個子空間直和的概念, 掌握兩個子空間做成直和的若干等價刻畫,了解多個子空間直和的概念與刻畫;
(4) 理解線性空間同構的概念與性質.
5. 線性變換
(1) 理解線性映射、線性變換的概念, 性質.
(2) 對給定的線性空間, 理解經由基底線性變換與矩陣的一一對應以及運算上面的對應. 能熟練運用這種對應關系來轉化問題.
(3) 理解線性變換的特征值, 特征向量; 矩陣的特征值, 特征向量. 理解二者之間的密切聯(lián)系. 能熟練的計算特征值和特征向量.
(4) 理解線性變換(矩陣)特征值, 特征向量與矩陣相似對角化的關系, 并能熟練的進行計算.
(5) 理解線性變換的值域和核的概念, 不變子空間的概念及其與矩陣化簡的關系.
(6) 理解對偶空間的定義及性質.
6. Jordan 標準形與λ-矩陣
(1) 理解矩陣最小多項式的概念, 與特征多項式和零化多項式的緊密關聯(lián), 最小多項式與相似對角化的關系.
(2) 理解冪零與半單線性變換的概念和性質, 掌握中國剩余定理及其計算. (3)了解矩陣的 Jordan-Chevalley 分解, 了解循環(huán)不變子空間的概念.
(4) 理解λ-矩陣的概念和性質, 相抵標準形的存在唯一性, 掌握相抵標準形的計算.
(5) 理解λ-矩陣相抵與矩陣相似的關系, 理解矩陣的有理標準形.
(6) 理解初等因子的概念和性質, 理解 Jordan 標準形的結論、計算及其應用.
7. 歐氏空間
(1) 理解歐氏空間的定義及性質, 了解歐氏空間同構的意義和結論, 了解 QR 分解與 LU 分解;
(2) 理解歐氏空間中內積, 長度, 夾角, 在給定基下度量矩陣的概念, 掌握 Cauchy 不等式的證明及其應用;
(3) 理解標準正交基的相關概念和性質, 掌握 Scmidt 正交化方法
(4) 掌握正交變換, 正交矩陣以及標準正交基之間的關系, 并能靈活運用實現(xiàn)問題的轉化.
(5) 掌握實對稱矩陣正交對角化的理論, 計算以及應用.
8. 二次型與雙線性函數
(1) 理解二次型及其矩陣表示, 合同變換與合同矩陣, 二次型的秩等概念
(2) 掌握用配方法化二次型為標準形, 了解慣性定理, 了解標準形和規(guī)范形, 掌握二次型及其矩陣的正定性判定與計算.
(3) 掌握用正交替換化二次型為標準形的計算.
(4) 了解雙線性函數的定義, 概念及其性質.
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